如何证明极限不存在(精选多篇)

时间:2024-12-10 22:57:53
如何证明极限不存在(精选多篇)[此文共2717字]

第一篇:证明极限不存在

证明极限不存在

二元函数的极限是高等数学中一个很重要的内容,因为其定义与一元函数极限的定义有所不同,需要定义域上的点趋于定点时必须以任意方式趋近,所以与之对应的证明极限不存在的方法有几种.其中有一种是找一种含参数的方式趋近,代入二元函数,使之变为一元函数求极限.若最后的极限值与参数有关,则说明二重极限不存在.但在证明这类型的题目时,除了选y=kx这种趋近方式外,许多学生不知该如何选择趋近方式.本文给出证明一类常见的有理分式函数极限不存在的一种简单方法.例1证明下列极限不存在:(1)lim(x,y)→(0,0)x4y2x6+y6;(2)lim(x,y)→(0,0)x2y2x2y2+(x-y)2.证明一般地,对于(1)选择当(x,y)沿直线y=kxy=kx趋近于(0,0)时,有lim(x,y)→(0,0)x4y2x6+y6=limx→0k2x6(1+k6)x6=k21+k6.显然它随着k值的不同而改变,故原极限不存在.对于(2)若仍然选择以上的趋近方式,则不能得到证明.实际上,若选择(x,y)沿抛物线y=kx2+x(k≠0)(x,y)→(0,0)趋近于(0,0),则有l..

2

是因为定义域d={(x,y)|x不等于y}吗,从哪儿入手呢,请高手指点

沿着两条直线y=2x

y=-2x趋于(0,0)时

极限分别为-3和-1/3不相等

极限存在的定义要求延任何过(0,0)直线求极限时极限都相等

所以极限不存在

3

lim(x和y)趋向于无穷大(x^2-5y^2)/(x^2+3y^2)

证明该极限不存在

lim(x^2-5y^2)/(x^2+3y^2)

=lim(x^2+3y^2)/(x^2+3y^2)-8y^2/(x^2+3y^2)

=1-lim8/

因为不知道x、y的大校

所以lim(x和y)趋向于无穷大(x^2-5y^2)/(x^2+3y^2)

极限不存在

4

如图用定义证明极限不存在~谢谢!!

反证法

若存在实数l,使limsin(1/x)=l,

取ε=1/2,

在x=0点的任意小的邻域x内,总存在整数n,

①记x1(n)=1/(2nπ+π/2)∈x,有sin=1,

②记x2(n)=1/(2nπ-π/2)∈x,有sin=-1,

使|sin-l|<1/3,

和|sin-l|<1/3,

同时成立。

即|1-l|<1/2,|-1-l|<1/2,同时成立。

这与|1-l|+|-1-l|≥|(1-l)-(-1-l)|=2发生矛盾。

所以,使limsin(1/x)=l成立的实数l不存在。

第二篇:如何证明极限不存在

如何证明极限不存在

反证法

若存在实数l,使limsin(1/x)=l,

取ε=1/2,

在x=0点的任意小的邻域x内,总存在整数n,

①记x1(n)=1/(2nπ+π/2)∈x,有sin=1,

②记x2(n)=1/(2nπ-π/2)∈x,有sin=-1,

使|sin-l|<1/3,

和|sin-l|<1/3,

同时成立。

即|1-l|<1/2,|-1-l|<1/2,同时成立。

这与|1-l|+|-1-l|≥|(1-l)-(-1-l)|=2发生矛盾。

所以,使limsin(1/x)=l成立的实数l不存在。

反证法:

一个数列{an}极限存在,另一个数列{bn}极限不存在

假设两数列之和{cn}的极限存在,那么bn=cn-an极限也存在(两个数列和的极限等于两个数列极限的和)

矛盾

所以原命题成立

令y=x,lim(x,y)趋于(0,0)xy/x+y

=lim(x趋于0)x^2/(2x)=0

令y=x^2-x,lim(x,y)趋于(0,0)xy/x+y

=lim(x趋于0)x^3-x^2/x^2=-1

两种情况极限值不同,故原极限不存在

2答案:首先需要二项式定理:

(a+b)^n=∑c(i=0–i=n)nia^(n-i)*b^i(式一)

用数学归纳法证此定理:

n=1(a+b)^1a^(1-0)*b^0+a^(1-1)*b^1

a+b

故此,n=1时,式一成立。

设n1为任一自然数,假设n=n1时,(式一)成立,即:

(a+b)^n1=∑c(i=0–i=n1)n1ia^(n1-i)*b^i(式二)

则,当n=n1+1时:

式二两端同乘(a+b)

*(a+b)=*(a+b)

=(a+b)^(n1+1)=∑c(i=0–i=(n1+1))(n1+1)ia^((n1+1)-i)*b^i(据乘法分配律)

因此二项式定理(即式一成立)

下面用二项式定理计算这一极限:

(1+1/n)^n(式一)

用二项式展开得:

(1+1/n)^n=1^n+(n/1)(1/n)+*(1/n)^2+*(1/n)^3+…+*(1/n)^(n-2)+*(1/n)^(n-1)+*(1/n)^n

由于二项展开式系数项的分子乘积的最高次项与(1/n)的次数相同,而系数为1,因此,最高次项与(1/n)的相应次方刚好相约,得1,低次项与1/n的相应次方相约后,分子剩下常数,而分母总余下n的若干次方,当n-+∞,得0。因此总的结果是当n-+∞,二项展开式系数项的各项分子乘积与(1/n)的相应项的次方相约,得1。余下分母。于是式一化为:

(1+1/n)^n=1+1+1/2!+1/3!+1/4!+1/5!+1/6!+…+1/n!(式二)

当n-+∞时,你可以用计算机,或笔计算此值。这一数值定义为e。

第三篇:证明二重极限不存在

证明二重极限不存在

如何判断二重极限(即二元函数极限)不存在,是二元函数这一节的难点,在这里笔者对这一问题不打算做详细的讨论,只是略谈一下在判断二重极限不存在时,一个值得注意的问题。由二重极限的定义知,要讨论limx→x0y→y0f(x,y)不存在,通常的方法是:找几条通过(或趋于)定点(x0,y0)的特殊曲线,如果动点(x,y)沿这些曲线趋于(x0,y0)时,f(x,y)趋于不同的值,则可判定二重极限limx→x0y→y0f(x,y)不存在,这一方法一般人都能掌握,但是在找一些特殊曲线时,是有一定技巧的,不过不管找哪条曲线,这条曲线一定要经过(x0,y0),并且定点是这条曲线的非孤立点,这一点很容易疏忽大意,特别是为图方便,对于型如limx→x0y→y0f(x,y)g(x,y)的极限,在判断其不存在时,不少人找的曲线是f(x,y)-g(x,y)=0,这样做就很容易出错。例如,容易知道limx→0y→0x+yx2+y2=0,但是若沿曲线x2y-(x2+y2)=0→(0,0)时,所得的结论就不同(这时f(x,y)→1)。为什么会出现这种情况呢?仔细分析一下就不难得到答案

2

若用沿曲线,(,y)一g(,y)=0趋近于(,y0)来讨论,一0g,y。。可能会出现错误,只有证明了(,)不是孤立点后才不会出错。o13a1673-3878(2014)0l__0l02__02如何判断二重极限(即二元函数极限)不存在。是二元函数这一节的难点,在这里笔者对这一问题不打算做详细的讨论。只是略谈一下在判断二重极限不存在时。一个值得注意的问题。由二重极限的定义知,要讨论limf(x,y)不存在,通常x—’10y—’y0的方法是:找几条通过(或趋于)定点(xo,yo)的特殊曲线,如果动点(x,y)沿这些曲线趋于(xo,y。)时,f(x,y)趋于不同的值,则可判定二重极限limf(x,y)不存在,这一方i—’10r’y0法一般人都能掌握,但是在找一些特殊曲线时,是有一定技巧的,不过不管找哪条曲线,这条曲线一定要经过(xo,y。),并且定点是这条曲线的非孤立点,这一点很容易疏忽大意,特别是为图方便,对于型如2的极限,在判卜’iogx,yy—·y0断其不存在时,不少人找的曲线是f(x,y)一g(x,y):0,这样做就很容易出错。

3

当沿曲线y=-x+x^2趋于(00)时,极限为lim(-x^2+x^3)/x^2=-1;

当沿直线y=x趋于(00)时,极限为limx^2/2x=0。故极限不存在。

4

x-y+x^2+y^2

f(x,y)=————————

x+y

它的累次极限存在:

x-y+x^2+y^2

limlim————————=-1

y->0x->0x+y

x-y+x^2+y^2

limlim————————=1

x->0y->0x+y

当沿斜率不同的直线y=mx,(x,y)->(0,0)时,易证极限不同,所以它的二重极限不存在。

第四篇:极限不存在的证明

不如何证明极限不存在

一、归结原则

原理:设f在u0(x0;?')内有定义,limf(x)存在的充要条件是:对任何含于

x?x0

u(x0;?)且以x0为极限的数列?xn?极限limf(xn)都存在且相等。

'

n??

例如:证明极限limsin

x?0

1x

不存在

12n??

证:设xn??

1n?

?,xn?

?

2

(n?1,2,?),则显然有

xn?0,xn?0(n??),si由归结原则即得结论。

??

?0?0,si?1?1(n??)??xnxn

二、左右极限法

原理:判断当x?x0时的极限,只要考察左、右极限,如果两者相等,则极限存在,否则极限不存在。例如:证明f(x)?arctan(因为limarctan(

x?0

?

1x

)

当x

?0

时的极限不存在。

1x)?

1x

)??

?

2

x=0,limarctan(

x?0

?

?

2

,limarctan(

x?0

?

1x

)?lim?arctan(

x?0

1x

),

所以当x?0时,arctan(

1x

)的极限不存在。

三、证明x??时的极限不存在

原理:判断当x?

?

时的极限,只要考察x???与x???时的极限,如果两者

相等,则极限存在,否则极限不存在。例如:证明f(x)?ex在x?

x???

?

时的极限不存在

x???

x???

xxxx

因为lime?0,lime???;因此,lime?lime

x???

所以当x?

四、柯西准则

?

时,ex的极限不存在。

0'

原理:设f在u(x0;?)内有定义,limf(x)存在的充要条件是:任给?

x?x0

?0

,存

在正数?(???),使得对任何x?,x???u0(x0;?),使得f(x?)?f(x??)??0。 例如:在方法一的例题中,取?0?1,对任何??0,设正数n?

x??1

n?,x???1

n??1?,令?

2即证。

五、定义法

原理:设函数f(x)在一个形如(a,??)的区间中有定义,对任何a?r,如果存在

?0?0,使对任何x?0都存在x0?x,使得f(x0)?a??0,则f(x)在x???

x???时没有极限。 例如:证明limcosx不存在

设函数f(x)?cosx,f(x)在(0,??)中有定义,对任何a?r,不妨设a?取?0?120,,于是对任何??0,取?0?0 反证法(利用极限定义) 数学归纳法

第五篇:极限证明

极限证明

1.设f(x)在(??,??)上无穷次可微,且f(x)??(xn)(n???),求证当k?n?1时,?x, limf(k)(x)?0. x???

2.设f(x)??0sinntdt,求证:当n为奇数时,f(x)是以2?为周期的周期函数;当n为

偶数时f(x)是一线性函数与一以2?为周期的周期函数之和. x

f(n)(x)?0.?{xn}?3.设f(x)在(??,??)上无穷次可微;f(0)f?(0)?0xlim求证:n?1,???

?n,0?xn?xn?1,使f(n)(xn)?0.

sin(f(x))?1.求证limf(x)存在. 4.设f(x)在(a,??)上连续,且xlim???x???

5.设a?0,x1?2?a,xn?1?2?xn,n?1,2?,证明权限limn??xn存在并求极限值。

6.设xn?0,n?1,2,?.证明:若limxn?1?x,则limxn?x. n??xn??n

7.用肯定语气叙述:limx???f?x????.

8.a1?1,an?1?1,求证:ai有极限存在。 an?1

t?x9.设函数f定义在?a,b?上,如果对每点x??a,b?,极限limf?t?存在且有限(当x?a或b时,

为单侧极限)。证明:函数f在?a,b?上有界。

10.设limn??an?a,证明:lima1?2a2???nana?. n??2n2

11.叙述数列?an?发散的定义,并证明数列?cosn?发散。

12.证明:若???

af?x?dx收敛且limx???f?x???,则??0.

11?an?收敛。?,n?1,2,?.求证:22an?1an13.a?0,b?0.a1?a,a2?b,an?2?2?

n

14.证明公式?k?11k?2n?c??n,其中c是与n无关的常数,limn???n?0.

15.设f?x?在[a,??)上可微且有界。证明存在一个数列?xn??[a,?),使得limn??xn???且limn??f'?xn??0.

16.设f?u?具有连续的导函数,且limu???f'?u??a?0,d??x,y?|x2?y2?r2,x,y?0

??

?r?0?.

i

?1?证明:limu??f?u????;?2?求ir???f'?x2?y2?dxdy;?3?求limr2

r??

d

r

17.设f?x?于[a,??)可导,且f'?x??c?0?c为常数?,证明:

?1?limx???f?x????;?2?f?x?于[a,??)必有最小值。

18.设limn???an?a,limn???bn?b,其中b?0,用??n语言证明lim

ana?.

n???bbn

?sn?x??19.设函数列?sn?x??的每一项sn?x?都在x0连续,u是以x0为中心的某个开区间,

在u??x0?内闭一致收敛于s?x?,又limn??sn?x0????,证明:lims?x????.

x?x0

20.叙述并证明limx???f?x?存在且有限的充分必要条件?柯西收敛原理?

??a

23.设?

f(x)= 0. 证明xlimf(x)dx收敛,且f(x)在?a,???上一致连续,???

24.设a1>0,an?1=an+,证明=1 nan25.设f?x?在a的某领域内有定义且有界,对于充分小的h,m?h?与m?h?分别表示f?x?在

?a?h,a?h?上的上、下确界,又设?hn?是一趋于0的递减数列,证明:

1)limn??m?hn?与limn??m?hn?都存在;

2)limn?0m?h??limn??m?hn?,limn?0m?h??limn??m?hn?;

3)f?x?在x?a处连续的充要条件是llimn??m?hn??imn??m?hn?26设?xn?满足:|xn?1?xn|?|qn||xn?xn?1|,|qn|?r?1|,证明?xn?收敛。

27.设an?a,用定义证明:limn???an?a

28.设x1?0,xn?1?

31?xn

,(n?1,2,?),证明limxn存在并求出来。

n??3?xn

??

29.用“???语言”证明lim30.设f(x)?

(x?2)(x?1)

?0

x?1x?3

x?2

,数列?xn?由如下递推公式定义:x0?1,xn?1?f(xn),(n?0,x?1

n??

1,2,?),求证:limxn?2。

31.设fn(x)?cosx?cos2x???cosnx,求证:

(a)对任意自然数n,方程fn(x)?1在[0,?/3)内有且仅有一个正根;

(b)设xn?[0,1/3)是fn(x)?1的根,则limxn??/3。

n??

32.设函数f(t)在(a,b)连续,若有数列xn?a,yn?a(xn,yn?(a,b))使

limf(xn)?a(n??)及limf(yn)?b(n??),则对a,b之间的任意数?,

可找到数列xn?a,使得limf(zn)??

33.设函数f在[a,b]上连续,且

f?0,记fvn?f(a?v?n),?n?

?exp{

b?a

,试证明:n

1b

lnf(x)dx}(n??)并利用上述等式证明下?ab?a

2?

?

2?

ln(1?2rcosx?r2)dx?2lnr(r?1)

f(b)?f(a)

?k

b?a

34.设f‘(0)?k,试证明lim

a?0?b?0?

35.设f(x)连续,?(x)??0f(xt)dt,且lim

x?0

论?'(x)在x?0处的连续性。

f(x)

,求?'(x),并讨?a(常数)

x

36. 给出riemann积分?af(x)dx的定义,并确定实数s的范围使下列极限收敛

i1

lim?()s。 n??ni?0n

?x322

,x?y?0?2

37.定义函数f?x???x?y2. 证明f?x?在?0,0?处连续但不可微。

?0,x?y?0?

n?1

b

38.设f是?0,??上有界连续函数,并设r1,r2,?是任意给定的无穷正实数列,试证存在无穷正实数列x1,x2,?,使得:limn???f?xn?rn??f?xn???0.

39.设函数f?x?在x?0连续,且limx?0

f?2x??f?x??a,求证:f'?0?存在且等于a.

x

1n

40.无穷数列?an??,bn?满足limn??an?a,limn??bn?b,证明:lim?aibn?1-i?ab.

n??ni?1

41.设f是?0,??上具有二阶连续导数的正函数,且f'?x??0,f''有界,则limt??f'?t??0

42.用???分析定义证明limt??1

x?31

? x2?92

43.证明下列各题

?1?设an??0,1?,n?1,2,?,试证明级数?2nann?1?an?n收敛;

n?1

?

?2?设?an?为单调递减的正项数列,级数?n2014an收敛,试证明limn2014an?0;

n??

n?1

?

?3?设f?x?在x?0附近有定义,试证明权限limx?0f?x?存在的充要条件是:对任何趋于0的数列?xn??,yn?都有limn???f?xn??f?yn???0.

?1?44.设?an?为单调递减数列的正项数列,级数?anln?1?an?0???收敛,试证明limn??n?n?1?

a?1。 45.设an?0,n=1,2, an?a?0,(n??),证 limn

n??

?

46.设f为上实值函数,且f(1)=1,f?(x)=〔1(内容来源好 范文网www.),+?〕

limf(x)存在且小于1+。

x?+?4

,证明x?1)2

x2+f(x)

?

47.已知数列{an}收敛于a,且

a?a???asn?,用定义证明{sn}也收敛于a

n

48.若f?x?在?0,???上可微,lim

n??

f(x)

?0,求证?0,???内存在一个单

x??x

调数列{?n},使得lim?n???且limf?(?n)?0

n??

x??e?sinx?cosx?,x?0

49.设f?x???2,确定常数a,b,c,使得f''?x?在???,??处处存在。

??ax?bx?c,x?0

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